Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．
（Ⅰ）直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，并求出周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而B(niǎo)F=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標(biāo)就可以求出．
（Ⅱ）作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．
求出線段E′F′的長(zhǎng)度，就是四邊形MNFE的周長(zhǎng)的最小值．

解答：（本小題10分）
解：（Ⅰ）E（3，1）；F（1，2）．（2分）
（Ⅱ）如圖，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，
作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別
與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，連接FN、NM、ME，
此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小．（4分）
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），
設(shè)直線E′F′的解析式為y=kx+b，
有

3k+b=-1 -k+b=2.

解這個(gè)方程組，得

k=- 3 4 b= 5 4 .

∴直線E′F′的解析式為y=-

3

4

x+

5

4

．
當(dāng)y=0時(shí)，x=

5

3

，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

5

3

，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=

5

4

，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

5

4

）．（7分）
∵E與E′關(guān)于x軸對(duì)稱，F(xiàn)與F′關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴NF=NF′，ME=ME′．F′B=4，E′B=3．
在Rt△BE′F′中，F′E′=

F′B2+E′B2

=

42+32

=5．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5．
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

12+22

=

5

．
∴FN+NM+ME+EF=5+

5

，
即四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是5+

5

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求線段的和最小的問(wèn)題基本的解決思路是根據(jù)對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題．