Question

如圖1，在等腰△ABC中，底邊BC=8，高AD=2，一動點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BC向右運(yùn)動，到達(dá)D點(diǎn)停止；另一動點(diǎn)P從距離B點(diǎn)1個單位的位置出發(fā)，以相同的速度沿BC向右運(yùn)動，到達(dá)DC中點(diǎn)停止；已知P、Q同時(shí)出發(fā)，以PQ為邊作正方形PQMN，使正方形PQMN和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，t的值為

 

，當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，t的值為

 

；
（2）設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分面積為S，求出當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式以及t的取值范圍；
（3）如圖2，分別取AB、AC的中點(diǎn)E、F，連接ED、FD，當(dāng)點(diǎn)P、Q開始運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)G從BE中點(diǎn)出發(fā)，以每秒

5

2

個單位的速度沿折線BE-ED-DF向F點(diǎn)運(yùn)動，到達(dá)F點(diǎn)停止運(yùn)動．請問在點(diǎn)P的整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)G可能與PN邊的中點(diǎn)重合嗎？如果可能，請直接寫出t的值或取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，△BPN∽△BAD，NP=1，可以確定BP的長度，得到答案；當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，△CPN∽△CAD，令NP=a，求得CP長度，即可得到答案．
（2）分兩種情況討論，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，設(shè)EQ交AB于R，則重疊部分為五邊形PQREN，根據(jù)S=S_{正方形PQMN}-S_△MRE可以得到答案．當(dāng)

13

3

＜t＜5時(shí)，設(shè)MN交AC于S，PN交AC于T，則重疊部分為五邊形PQMST，根據(jù)S=S_△ADC-S_△AMS-S_△PTCPTC得到答案．
（3）可能，分三種情況出現(xiàn)，當(dāng)t=0時(shí)，PN的中點(diǎn)恰好與BE的中點(diǎn)重合，當(dāng)t=2時(shí)，通過計(jì)算能夠重合，當(dāng)4≤t≤5時(shí)，都可以重合．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，△BPN∽△BAD，NP=1，
∴

BP

BD

=

NP

AD

，即：

BP

4

=

1

2

，
∴BP=2，
又∵點(diǎn)P從距離B點(diǎn)1個單位的位置出發(fā)，
所以t=1；
當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，△CPN∽△CAD，令NP=a，

NP

AD

=

CP

CD

，即：

a

2

=

4-a

4

，
∴a=

4

3

，
所以BP=

16

3

，
又∵點(diǎn)P從距離B點(diǎn)1個單位的位置出發(fā)，
所以t=

13

3

，
故答案為：1；

13

3

；

（2）如圖1，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，設(shè)EQ交AB于R，
則重疊部分為五邊形_PQREN，
∵ME=2-t，MR=

1

2

ME=

1

2

（2-t），
∴S_△MRE=

1

2

ME•MR=

1

4

（2-t）²，
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△MRE=1-

1

4

（2-t）²=-

1

4

t²+t．

當(dāng)

13

3

＜t＜5時(shí)，如圖2，設(shè)MN交AC于S，PN交AC于T，
則重疊部分為五邊形PQMST，
∵AM=2-（t-3）=5-t，
MS=2AM=2（5-t），
PC=7-t，PT=

1

2

PC=

1

2

（7-t）
∴S_△AMS=

1

2

AM•MS=（5-t）²，
S_△PTC=

1

2

PC•PT=

1

4

（7-t）²，
又S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

×2×4=4，
∴S=S_△ADC-S_△AMS-S_△PTC=4-（5-t）²-

1

4

（7-t）²=-

5

4

t²+

27

2

t-

133

4

．

綜上所述，當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

- 1 4 t2+t(1＜t＜2) - 5 4 t2+ 27 2 t- 133 4 ( 13 3 ＜t＜5)

（3）可能．t=0，或t=2，或4≤t≤5，

（a）當(dāng)t=0時(shí)，如圖3，△BPG∽△BAD，
所以

BP

BD

=

PG

AD

，即：

1

4

=

PG

2

，
所以PG=

1

2

，當(dāng)t=0時(shí)問題成立；

（b）當(dāng)在如圖4所示過程中G為PN的中點(diǎn)，則有PG為△QED的中位線，
所以BP=3，QP=QE=1，運(yùn)行時(shí)間為2秒，BE=

5

，
所以

1

2

BE=

5

2

，EG=

1

2

ED=

5

2

，
所以點(diǎn)G剛好運(yùn)行了2秒，與PN的中點(diǎn)恰好重合．

（c）如圖5，當(dāng)4≤t≤5時(shí)，都可以重合．

點(diǎn)評：本題考查了三角形相似的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用，動點(diǎn)的運(yùn)動問題，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．