Question

如圖，在菱形ABCD中，AB：AC=m：n，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，以AP為對(duì)角線作菱形AFPM，滿足∠ABC=∠AFP，連結(jié)BF，猜想BF與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：由菱形ABCD和菱形AFPM，得出BA=BC，F(xiàn)A=FP，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠BAC=∠FAP，證得△FAP∽△BAC，進(jìn)一步證得△FAB∽△PAC，找出線段AB、AC、BF、CP之間的關(guān)系得出結(jié)論即可．

解答：BF=

m

n

CP．
證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC），
∵四邊形AFPM為菱形，
∴FA=FP，
∴∠FAP=

1

2

（180°-∠AFP），
∵∠ABC=∠AFP，
∴∠BAC=∠FAP，
∴△FAP∽△BAC；
∴

AF

AB

=

AP

AC

，
即

AF

AP

=

AB

AC

，
∵∠FAB=∠FAP-∠BAP，∠PAC=∠BAC-∠BAP，
∴∠FAP=∠PAC，
∴△FAB∽△PAC；
∴

BF

CP

=

AB

AC

=

m

n

，
即BF=

m

n

CP．

點(diǎn)評(píng)：此題考查菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形相似的判定與性質(zhì)，注意掌握三角形相似的判定方法．