Question

【題目】某公司根據(jù)市場(chǎng)需求銷售A、B兩種型號(hào)的凈水器，每臺(tái)A型凈水器比每臺(tái)B型凈水器進(jìn)價(jià)多200元，用5萬元購進(jìn)A型凈水器與用4.5萬元購進(jìn)B型凈水器的數(shù)量相等．

（1）求每臺(tái)A型、B型凈水器的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）該公司計(jì)劃用不超過9.8萬元購進(jìn)A，B兩種型號(hào)的凈水器共50臺(tái)，其中A型、B型凈水器每臺(tái)售價(jià)分別為2500元、2180元，設(shè)A型凈水器為x臺(tái)．

①求x的取值范圍．

②若公司決定從銷售A型凈水器的利潤中每臺(tái)捐獻(xiàn)a（100＜a＜150）元給貧困村飲水改造愛心工程，求售完這50臺(tái)凈水器后獲得的最大利潤．

Answer 1

【答案】（1）A型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為2000元，B型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為1800元；（2）①x的取值范圍為：0≤x≤40且為x整數(shù)，②售完這50臺(tái)凈水器后獲得的最大利潤為23800﹣40a

【解析】

（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題；

（2）①根據(jù)購買資金＝A型凈水器的進(jìn)價(jià)×購進(jìn)數(shù)量+B型凈水器的進(jìn)價(jià)×購進(jìn)數(shù)量結(jié)合購買資金不超過9.8萬元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍；

②由總利潤＝每臺(tái)A型凈水器的利潤×購進(jìn)數(shù)量+每臺(tái)B型凈水器的利潤×購進(jìn)數(shù)量﹣a×購進(jìn)A型凈水器的數(shù)量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

（1）設(shè)A型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為m元，則B型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為（m﹣200）元，

根據(jù)題意得：，

解得：m＝2000，

經(jīng)檢驗(yàn)，m＝2000是分式方程的解，∴m﹣200＝1800．

答：A型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為2000元，B型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為1800元；

（2）①根據(jù)題意得：2000x+1800（50﹣x）≤98000，解得：x≤40

∴x的取值范圍為：0≤x≤40且為x整數(shù)；

②總利潤w＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax＝（120﹣a）x+19000，

∵100＜a＜150，

∴i）．當(dāng)100＜a＜120時(shí)，120﹣a＞0，w隨x增大而增大，

∴當(dāng)x＝40時(shí)，w取最大值，最大值為（120﹣a）×40+19000＝23800﹣40a，

ii）．當(dāng)a＝120時(shí)，w為一個(gè)定值w＝0+19000＝19000，

iii）當(dāng)120＜a＜150時(shí)，120﹣a＜0，w隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，w取最大值，其最大值為：（120﹣a）×0+19000＝19000，

綜上，當(dāng)100＜a＜120時(shí)，19000＜23800﹣40a＜19800，

∴售完這50臺(tái)凈水器后獲得的最大利潤為23800﹣40a．