Question

x⁴+（m-1）x³+mx²+（m-1）x+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根,因式分解,根的判別式,解一元一次不等式組

專(zhuān)題：

分析：將等式的左邊因式分解，從而將原方程轉(zhuǎn)化為[x²+（m-2）x+1]（x²+x+1）=0．由于x²+x+1＞0，因此只能是x²+（m-2）x+1=0，運(yùn)用根的判別式可得（m-2）²-4×1×1＞0，即m（m-4）＞0，解這個(gè)不等式就可解決問(wèn)題．

解答：解：x⁴+（m-1）x³+mx²+（m-1）x+1=x⁴-x³-x+1+mx³+mx²+mx
=x⁴-x-x³+1+mx（x²+x+1）
=x（x³-1）-（x³-1）+mx（x²+x+1）
=（x-1）（x³-1）+mx（x²+x+1）
=（x-1）²（x²+x+1）+mx（x²+x+1）
=[（x-1）²+mx]（x²+x+1）
=[x²+（m-2）x+1]（x²+x+1）．
則原方程可轉(zhuǎn)化為[x²+（m-2）x+1]（x²+x+1）=0．
∵x²+x+1=（x+

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴x²+（m-2）x+1=0．
由題可得：（m-2）²-4×1×1＞0，
則有m²-4m＞0，即m（m-4）＞0，
則有

m＞0 m-4＞0

或

m＜0 m-4＜0

，
解得：m＞4或m＜0．
故答案為：m＞4或m＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了因式分解、配方法、根的判別式、解一元一次不等式組等知識(shí)，采用因式分解法是解決本題的關(guān)鍵．