Question

【題目】如圖，射線AM平行于射線BN，∠B=90°，AB=4，C是射線BN上的一個動點，連接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，過C作CE⊥BN交AD于點E，設BC長為a．

（1）求△ACD的面積（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）求點D到射線BN的距離（用含有a的代數(shù)式表示）；

（3）是否存在點C，使△ACE是以AE為腰的等腰三角形？若存在，請求出此時a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）a；（3）存在，a的值為2或4+8

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理得出AC，進而得出CD，最后用三角形的面積公式即可；

（2）先判斷出∠FDC=∠ACB，進而判斷出△DFC∽△CBA，得出，即可求出DF，即可；

（3）分兩種情況利用相似三角形的性質建立方程求解即可得出結論．

解：（1）在Rt△ABC中，AB=4，BC=a，

∴AC==，

∴CD=AC=，

∵∠ACD=90°，

∴S△ACD=ACCD=.

（2）如圖1，過點D作DF⊥BN于點F，

∵∠FDC+∠FCD=90°，∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°，

∴∠FDC=∠ACB，

∵∠B=∠DFC=90°，

∴∠FDC=∠ACB，

∵∠B=∠DFC=90°，

∴△DFC∽△CBA，

∴，

∴DF=BC=a，

∴D到射線BN的距離為a；

（3）存在，①當EC=EA時，

∵∠ACD=90°，

∴EC=EA=AD，

∵AB∥CE∥DF，

∴BC=FC=a，

由（2）知，△DFC∽△CBA，

∴，

∴FC=AB=2，

∴a=2，

②當AE=AC時，如圖2，AM⊥CE，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠2=∠4，

∴∠1=∠4，

由（2）知，∠3=∠4，

∴∠1=∠3，

∵∠AGD=∠DFC=90°，

∴△ADG∽△DCF，

∴，

∵AD==，AG=a+2，CD=，

∴，

∴a=4+8，

即：滿足條件的a的值為2或4+8．