Question

（2011•溫嶺市模擬）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如圖（1），當(dāng)AB∥CB′時(shí)，設(shè)A′B′與CB相交于點(diǎn)D．證明：△A′CD是等邊三角形；
（2）如圖（2），設(shè)AC中點(diǎn)為E，A′B′中點(diǎn)為P，AC=a，連接EP，當(dāng)θ=

120

°時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值為

3

2

a

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)AB∥CB′時(shí)，∠BCB′=∠B=∠B′=30°，則∠A′CD=90°-∠BCB′=60°，∠A′DC=∠BCB′+∠B′=60°，可證：△A′CD是等邊三角形；
（2）連接CP，當(dāng)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長(zhǎng)，根據(jù)圖形求出此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及EP的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠BC A′=90°-30°=60°，
∵∠A′=∠A=60°，
∴△A′CD是等邊三角形；

（2）解：如圖，連接CP，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長(zhǎng)，
此時(shí)θ=∠ACA₁=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=

1

2

A′B′=a，
∵AC中點(diǎn)為E，A′B′中點(diǎn)為P，∠A′CB′=90°
∴CP=

1

2

A′B′=a，EC=

1

2

a，
∴EP=EC+CP=

1

2

a+a=

3

2

a．
故答案為：120，

3

2

a．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)及特殊三角形的性質(zhì)證明問(wèn)題．