Question

1．我們給出如下新定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．
（1）如圖①，請你在圖中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAPB；
（2）如圖②，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連結(jié)AD、DC．若∠DCB=30°．則四邊形ABCD是勾股四邊形，為什么？

Answer 1

分析 （1）OM=AB知以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的M共兩個(gè)：M（3，4）或M（4，3）．
（2）需要證明DC²+BC²=AC²，只需證明∠DCE=90°．

解答 （1）解：答案如圖所示．M（3，4）或M′（4，3）．

（2）證明：連接EC，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
即四邊形ABCD是勾股四邊形．

點(diǎn)評 本題考查勾股定理，及考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．