Question

16．已知四邊形OABC是邊長為4的正方形，分別以O(shè)A、OC所在的直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．
（1）寫出點(diǎn)A、點(diǎn)C坐標(biāo)并求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若P是直線l上的一點(diǎn)，當(dāng)△OPA的面積是5時(shí)，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)D（3，-1），E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求出使|BE-DE|取得最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)和最大值（不需要證明）．

Answer 1

分析 （1）易得A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，把這兩點(diǎn)代入可得所求函數(shù)解析式；
（2）設(shè)△OPA底邊OA上的高為h，根據(jù)絕對值的定義分兩種情況解答即可；
（3）連接OD并延長交直線l于點(diǎn)E，得到DB的解析式與l的解析式聯(lián)立可得E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是邊長為4的正方形，
∴A（4，0）和C（0，4）；
設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0），經(jīng)過A（4，0）和C（0，4）
得$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x+4； 
（2）設(shè)△OPA底邊OA上的高為h，由題意等$\frac{1}{2}$×4×h=5，
∴h=$\frac{5}{2}$，
∴|-x+4|=$\frac{5}{2}$，解得x=$\frac{3}{2}$或$\frac{13}{2}$
∴P₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）、P₂（$\frac{13}{2}$，$-\frac{5}{2}$）；
（3）∵O與B關(guān)于直線l對稱，
∴連接OD并延長交直線l于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，此時(shí)|BE-DE|=|OE-DE|=OD，OD即為最大值，如圖2．
設(shè)OD所在直線為y=k₁x  （k₁≠0），經(jīng)過點(diǎn)D（3，-1），
∴-1=3k₁，
∴k₁=$-\frac{1}{3}$
∴直線OD為$y=-\frac{1}{3}x$，
解方程組：$\left\{\begin{array}{l}y=-x+4\\ y=-\frac{1}{3}x\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，-2）．   
又D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-1）
由勾股地理可得OD=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 考查一次函數(shù)的應(yīng)用；在本題中應(yīng)注意可能為等腰三角形的不同情況；在求平面圖形中的最短距離和時(shí)，應(yīng)找到特殊點(diǎn)關(guān)于直線的對應(yīng)點(diǎn)．