【題目】問(wèn)題:如圖①,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA2PB=,PC1,求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

李明同學(xué)的思路是:將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖②),連接PP′,可得△PPB是等邊三角形,而△PPA又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),可得∠APB °,所以∠BPC=∠APB °,還可證得△ABP是直角三角形,進(jìn)而求出等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為 ,問(wèn)題得到解決.

1)根據(jù)李明同學(xué)的思路填空:∠APB °,∠BPC=∠APB °,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為

2)探究并解決下列問(wèn)題:如圖③,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PAPB,PC1.求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng).

【答案】1)∠APB150°,∠BPC=∠APB150°,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為;(2)∠BPC135°,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.

【解析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AP′=CP=1,BP′=BP=,∠PBC=P′BA,∠AP′B=BPC,求出∠ABP′+ABP=60°,得到等邊BPP′,推出PP′=,∠BP′P=60°,求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC;過(guò)點(diǎn)BBMAP′,交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,由∠MP′B=30°,求出BM=P′M=,根據(jù)勾股定理即可求出答案;

2)求出∠BEP=180°-90°=45°,根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°,推出∠BPC=AEB=90°+45°=135°;過(guò)點(diǎn)BBFAE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求出FE=BF=1AF=2,關(guān)鍵勾股定理即可求出AB

1)∵等邊ABC

∴∠ABC=60°,

BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出ABP′,

AP′=CP=1,BP′=BP=,∠PBC=P′BA,∠AP′B=BPC,

∵∠PBC+ABP=ABC=60°

∴∠ABP′+ABP=ABC=60°,

∴△BPP′是等邊三角形,

PP′=,∠BP′P=60°

AP′=1,AP=2

AP′2+PP′2=AP2,

∴∠AP′P=90°,

∴∠BPC=AP′B=90°+60°=150°

過(guò)點(diǎn)BBMAP′,交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

∴∠MP′B=30°,BM=

由勾股定理得:P′M=,

AM=1+=,

由勾股定理得:AB=

故答案為:150°

2)將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AEB,

與(1)類似:可得:AE=PC=1,BE=BP=,∠BPC=AEB,∠ABE=PBC

∴∠EBP=EBA+ABP=ABC=90°,

∴∠BEP=180°-90°=45°

由勾股定理得:EP=2,

AE=1AP=,EP=2

AE2+PE2=AP2,

∴∠AEP=90°

∴∠BPC=AEB=90°+45°=135°,

過(guò)點(diǎn)BBFAE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F;

∴∠FEB=45°,

FE=BF=1,

AF=2;

∴在RtABF中,由勾股定理,得AB=;

∴∠BPC=135°,正方形邊長(zhǎng)為

答:∠BPC的度數(shù)是135°,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是

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