Question

某班課題學(xué)習(xí)小組對無蓋的紙杯進(jìn)行制作與探究，所要制作的紙杯如圖1所示，規(guī)格要求是：杯口直徑AB=6cm，杯底直徑CD=4cm，杯壁母線AC=BD=6cm．請你和他們一起解決下列問題：
（1）小顧同學(xué)先畫出了紙杯的側(cè)面展開示意圖（如圖2，忽略拼接部分），得到圖形是圓環(huán)的一部分．

①圖2中弧EF的長為

 

cm，弧MN的長為

 

cm，ME=NF=

 

cm；
②要想準(zhǔn)確畫出紙杯側(cè)面的設(shè)計圖，需要確定弧MN所在圓的圓心O，如圖3所示．小顧同學(xué)發(fā)現(xiàn)若將弧EF、MN近似地看做線段，類比相似三角形的性質(zhì)可得

弧EF的長

弧MN的長

=

OF

ON

，請你幫她證明這一結(jié)論．
③根據(jù)②中的結(jié)論，求弧MN所在圓的半徑r及它所對的圓心角的度數(shù)n．
（2）小顧同學(xué)計劃利用矩形、正方形紙各一張，分別按如圖甲和乙所示的方式剪出這個紙杯的側(cè)面，求矩形紙片的長和寬以及正方形紙片的邊長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）①直徑根據(jù)圓的周長公式即可得出結(jié)論；
②設(shè)弧MN所在圓的半徑為r，所對的圓心角度數(shù)為n，再根據(jù)弧長公式得出

MN

與

EF

的長，求出其比值即可；
③根據(jù)②中的結(jié)論求出r的值，再由①中兩弧長即可得出n的值．
（2）延長EM交FN于點O，根據(jù)∠MON=60°得出△MON和△EOF是等邊三角形，故可得出長方形的長，設(shè)RS與

EF

交于點P，OP交ZX于點Q，在Rt△OQN中，根據(jù)∠QON=30°，OQ=ON•cos30°，故可得出長方形的寬，設(shè)正方形邊長為xcm，在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可得出x的值．

解答：解：（1）①∵直徑AB=6cm，杯底直徑CD=4cm，杯壁母線AC=BD=6cm，
∴杯口圓的半徑為3cm，杯底圓的半徑為2cm，
∴

EF

=2×3π=6πcm，

MN

=2×2π=4πcm，ME=NF=AC=6cm．
故答案為：6π，4π，6；

②設(shè)弧MN所在圓的半徑為r，所對的圓心角度數(shù)為n，則

MN

的長度=

nπr

180

，

EF

的長=

nπ(r+FN)

180

，
所以

EF

MN

=

nπ(r+FN) 180

nπr 180

，即

EF

MN

=

r+NF

r

=

ON+NF

ON

=

OF

ON

；

③由②得，

EF

MN

=

OF

ON

，即

6π

4π

=

r+6

r

，解得r=12，
∵

MN

的長=

nπr

180

，
∴

nπr

180

=4π，即

nπ×12

180

=4π，解得n=60，即弧MN所在圓的半徑r等于12cm，及它所對的圓心角的度數(shù)為60°；

（2）延長EM交FN于點O，
∵∠MON=60°，
∴△MON和△EOF是等邊三角形，
∴EF=長方形的長=12+6=18，
設(shè)RS與

EF

交于點P，OP交ZX于點Q，連接OP，
∴OQ⊥MN，MQ=QN，
在Rt△OQN中，∠QON=30°，OQ=ON•cos30°=6

3

，
∴長方形的寬=（18-6

3

）cm，
∵設(shè)正方形邊長為xcm，
∴在Rt△AOE中，AO²+AE²=OE²，
∵OE=18，
∴BE=BF=9

2

，
即x²+（x-9

2

）²=18²，
化簡得，x²+9

2

x-81=0，
解得x=

9

2

（

2

±

6

），
∴正方形邊長為

9

2

（

2

+

6

）cm．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到弧長的計算、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識，難度適中．