Question

已知：以原點(diǎn)O為圓心、5為半徑的半圓與y軸交于A、G兩點(diǎn)，AB與半圓相切于點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，y_B）（如圖1）；過半圓上的點(diǎn)C（x_C，y_C）作y軸的垂線，垂足為D；Rt△DOC的面積等于x_C²．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①命題“如圖2，以y軸為對稱軸的等腰梯形MNPQ與M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分別在同一條直線上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．設(shè)拋物線y=ax²+h過點(diǎn)P、Q，拋物線y=a₁x²+h₁過點(diǎn)P₁、Q₁，則h＞h₁”是真命題．請你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）為例進(jìn)行驗(yàn)證；
②當(dāng)圖1中的線段BC在第一象限時(shí)，作線段BC關(guān)于y軸對稱的線段FE，連接BF、CE，點(diǎn)T是線段BF上的動(dòng)點(diǎn)（如圖3）；設(shè)K是過T、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)，求K的縱坐標(biāo)y_K的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了△DOC的面積，那么x_c•|y_c|=x_c²，因此=，根據(jù)圓的半徑為5，根據(jù)勾股定理可得出C點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方與縱坐標(biāo)的平方的和為25，據(jù)此可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）①根據(jù)四點(diǎn)坐標(biāo)線求出兩拋物線的解析式，然后比較h，h₁的值即可．
②本題考慮兩個(gè)極限值即可：
一：當(dāng)T運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，T與K，B重合，B點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，此時(shí)y_K最小．
二：當(dāng)T運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)，T、F重合，此時(shí)過F、B、C的拋物線的y_K值最大，由此可得出y_K的取值范圍．
解答：解：（1）y_B=5=半徑；x_Cy_C=x_C²，x_C²+y²_C=25，
得C（4，3）（2分）和C（4，-3）

（2）①過點(diǎn)P（4，3）、Q（3，5）的拋物線y=ax²+h
即為y=-x²+，得h=．
過P₁（p+1，3）、Q₁（p，5）的拋物線y=a₁x²+h₁
為y=-•x²+，
h₁=．
h-h₁=-
==，
∵M(jìn)Q＞M₁Q₁，其中MQ=6，
∴0≤p=M₁Q₁＜3，可知0≤p＜3；
∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，
因而得到h-h₁＞0，證得h＞h₁．
或者說明2p+1＞0，-14p²+36p+18在0≤p＜3時(shí)總是大于0，
得到h-h₁＞0．
②顯然拋物線y=ax²+bx+c的開口方向向下，a＜0．
當(dāng)T運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，這時(shí)B、T、K三點(diǎn)重合即B為拋物線的頂點(diǎn)，∴y_K≥5；
將過點(diǎn)T、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c沿x軸平移，使其對稱軸為y軸，這時(shí)y_K不變．
則由上述①的結(jié)論，
當(dāng)T在FB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過F（-3，5）、B（3，5）、C（4，3）三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，
∴y_K≤，
∴5≤y_K≤．
點(diǎn)評：本題主要考查了勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點(diǎn)．