Question

（2013•太倉市二模）如圖，已知圓心為C（0，1）的圓與y軸交于A，B兩點，與x軸交于D，E兩點，且DE=4

2

．點Q為⊙C上的一個動點，過Q的直線交y軸于點P（0，-8），連結(jié)OQ．
（1）直徑AB=

6

；
（2）當點Q與點D重合時，求證：直線PD為圓的切線；
（3）猜想并證明在運動過程中，PQ與OQ之比為一個定值．

Answer 1

分析：（1）利用垂徑定理以及勾股定理求出CD即可得出AB的長；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出△COD∽△DOP，進而得出∠CDO=∠DPO，求出CD⊥DP即可得出答案；
（3）利用勾股定理得出：QO ²=x ²+y²，QP²=x ²+（-8-y）²，x ²+（1-y） ²=9，整理得出PQ與OQ的關(guān)系．

解答：（1）解：∵圓心為C（0，1）的圓與y軸交于A，B兩點，與x軸交于D，E兩點，且DE=4

2

，
∴DO=OE=2

2

，CO=1，
∴CD=3，
∴AB=2×3=6；

（2）證明：連接CD，
∵

OC

OD

=

OD

OP

=

2

4

，
∠COD=∠DOP=90°，
∴△COD∽△DOP，
∴∠CDO=∠DPO，
∵∠DPO+∠ODP=90°，
∴CD⊥DP，
∵點D在⊙O上，
∴直線PD為圓的切線；

（3）猜想：PQ：OQ=3：1，
證明：作QH⊥y軸于點H，設(shè)Q（x，y）
∵點Q在圓上，
∴CQ=3，即QH ²+CH ²=9，
∴x ²+（1-y） ²=9，
分別在Rt△OQH和Rt△PQH中，
得：QO ²=x ²+y²，QP²=x ²+（-8-y）²，
∴QP²=x²-（1-y） ²+（-8-y）²=9（8+2y），
QO ²=x²-（1-y） ²+y²=8+2y，
∴PQ：OQ=3：1．
故答案為：6．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．