【題目】如圖1,拋物線軸交于點(diǎn)A4,0),與軸交于點(diǎn)B,在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Em,0)(0m4),過點(diǎn)E軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)PPMAB于點(diǎn)M

1)求的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式;

2)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,請用含m的代數(shù)式表示線段PN;

3)設(shè)PMN的周長為AEN的周長為,若,求m的值;

4)如圖2,在(3)條件下,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′,旋轉(zhuǎn)角為αα90°),連接、,求的最小值.

【答案】(1);直線AB解析式為y=;(2)PN=m2+3m ;(3)2;(4)

【解析】試題解析:(1)(1)令y=0,求出拋物線與x軸交點(diǎn),列出方程即可求出a,根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AB解析式;(2)由△PNM∽△ANE,推出,列出方程即可解決問題;(3)在y軸上 取一點(diǎn)M使得OM′=,構(gòu)造相似三角形,可以證明AM′就是的最小值;

試題分析:

1拋物線y=ax2+a+3x+3a≠0)與x軸交于點(diǎn)A40),

a=﹣……………………………………………2

A4,0),B0,3),

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,

解得,

直線AB解析式為y=﹣x+3 ……………………………………………4

設(shè)點(diǎn)Pm,﹣m2+m+3

點(diǎn)N在直線AB上則N

PN=m2+m+3﹣m+3=﹣m2+3m ………………………………6

3)如圖1中,

PMAB,PEOA

∴∠PMN=AEN,∵∠PNM=ANE,

∴△PNM∽△ANE, ……………………………………………8

=,

NEOB

=,

AN=4﹣m),

PN=m2+m+3m+3=﹣m2+3m,

=

解得m=2 ……………………………………………10

3)如圖2中,在y軸上 取一點(diǎn)M′使得OM′=,連接AM′PEE′,

OE′=2,OM′OB=×3=4,

OE′2=OM′OB

=,∵∠BOE′=M′OE′,

∴△M′OE′∽△E′OB,

==

M′E′=BE′,

AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′,此時(shí)AE′+BE′最。▋牲c(diǎn)間線段最短,AM′、E′共線時(shí)),

最小值=AM′==

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(1)若點(diǎn)P在線段AB上,如圖①,且∠α=50°,則∠1+∠2=
(2)若點(diǎn)P在斜邊AB上運(yùn)動(dòng),如圖②,則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為;
(3)如圖③,若點(diǎn)P在斜邊BA的延長線上運(yùn)動(dòng)(CE<CD),請直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系:;
(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外(只需研究圖④情形),則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系?并說明理由.

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