Question

如圖，已知△OAB的頂點(diǎn)A（-3，0）、B（0，1）O（0，0）．將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ODC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、D、C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式，并寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)中，畫出（1）中拋物線；
（3）將（1）中的拋物線沿y軸平移m（m＞0）個(gè)長度單位，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在直線y=-x上，試求出平移的方法和平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵A（-3，0）、B（0，1）、O（0，0），將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ODC，
∴D（0，3）、C（1，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），
將（0，3）代入得出：3=a（0+3）×（-1），
解得：a=-1，
∴y=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，4）；

（2）根據(jù)（1）中所求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)以及A，C，D點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出拋物線圖象，如圖所示：

（3）設(shè)拋物線平移后解析式為：y=-（x+1）²+4+m，
∴平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，4+m），代入y=-x得，m=-3，
∴將拋物線向下平移3個(gè)單位，
∴平移后解析式為：y=-（x+1）²+1．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出D，C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解析式，進(jìn)而利用配方法求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用（1）中所求得出拋物線圖象即可；
（3）利用平移的性質(zhì)得出平移后解析式，進(jìn)而得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線y=-x求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的平移以及圖形的旋轉(zhuǎn)以及配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)，正確記憶二次函數(shù)平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．