Question

已知一次函數(shù)y=-x+m中，當(dāng)x=0時(shí)，y=6．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；
（2）設(shè)該一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4），QE⊥AB于E．
①試求QE的長(zhǎng)；
②以Q為圓心，QE為半徑作⊙Q，試問(wèn)在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使得⊙P與⊙Q、直線AB都相切？若存在，請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）6；

（2）①如圖1，∵OB=6，OQ=4，∴QB=2．
在中，令y=0，得x=8，即OA=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理，
得：．
連接AQ，∵，
∴10•QE=2×8，解得QE=1.6．
②若⊙P與⊙Q內(nèi)切且與直線AB相切．
如圖2，由①延長(zhǎng)線段EQ交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)P，以P為圓心，
PE為半徑作⊙P，則⊙P既與⊙Q內(nèi)切，又與直線AB相切．
在Rt△BQE中，由勾股定理得：．
∵∠BEQ=∠POQ=90°，又∠BQE=∠PQO，
∴△QEB∽△QOP．
∴，解得：OP=3．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）．
若⊙P與⊙Q外切且與直線AB相切，設(shè)切點(diǎn)分別為C、F．
連接PF、PQ，則點(diǎn)C在PQ上．

如圖3，設(shè)P（x，0）（x＜0），則AP=8-x
∵∠AFP=∠AOB=90°，又∠FAP=∠OAB，
∴△AFP∽△AOB．
∴，即，，
∴PC=PF=4.8-0.6x，
PQ=PC+CQ=4.8-0.6x+1.6=6.4-0.6x．
在Rt△POQ中，由勾股定理，得：PQ²=OP²=OQ²
∴（6.4-0.6x）²=x²+4²
整理得：x²+12x-39=0，
解得：（不含題意，舍去），．
綜上，存在符合條件的兩個(gè)點(diǎn)P，坐標(biāo)分別為（-3，0）或（-6-5，0）．
分析：（1）將x=0代入解析式即可求得m的值；
（2）①連接AQ，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的面積問(wèn)題解答；
②根據(jù)切線的性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形BEQ和直角三角形APF，然后利用勾股定理解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和圓的相關(guān)知識(shí)，并具有一定的開(kāi)放性，題目涉及勾股定理，函數(shù)圖象與坐標(biāo)系的關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)，內(nèi)容繁多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，是一道難題．