Question

已知關(guān)于x的一元二次方程mx（x-3）=2（x-m）-2（m＞0）．
（1）判斷方程實數(shù)根的情況；
（2）當兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂（x₂＞x₁），設(shè)y=x₂-2x₁，利用圖象求y的值．當y≥2m時，m的取值范圍是多少，用幾何語言表示．

Answer 1

考點：一元二次方程根的分布

專題：

分析：（1）本題的突破口在于利用△．化簡得出（m+2）²＞0得出△＞0．
（2）由求根公式得出x的解，由y=x₂-2x₁求出關(guān)于m的解析式．

解答：解：（1）關(guān)于x的一元二次方程mx（x-3）=2（x-m）-2（m＞0），
整理得，mx²-（3m+2）x+2m+2=0是，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²．
∵當m＞0時，（m+2）²＞0，即△＞0．
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）由求根公式，得x=

3m+2±(m+2)

2m

∴

2m+2

m

或x=1．
∵m＞0，
∴

2m+2

m

=

2(m+1)

m

＞1．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x₂=

2m+2

m

．
∴y=x₂-2x₁=

2m+2

m

-2×1=

2

m

．
即y=

2

m

（m＞0）為所求．

（3）在同一平面直角坐標系中分別畫出y=

2

m

（m＞0）與y=2m（m＞0）的圖象．

由圖象可得，當0＜m≤1時，y≥2m．

點評：本題是一道代數(shù)綜合題，綜合了一元二次方程、一次函數(shù)、反比例函數(shù)，用函數(shù)的觀點看不等式等知識．