Question

【題目】綜合題
（1）發(fā)現(xiàn)
如圖，點(diǎn) 為線段 外一動(dòng)點(diǎn)，且 ， .

填空：當(dāng)點(diǎn) 位于時(shí)，線段 的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為.（用含 ， 的式子表示）
（2）應(yīng)用
點(diǎn) 為線段 外一動(dòng)點(diǎn)，且 ， .如圖所示，分別以 ， 為邊，作等邊三角形 和等邊三角形 ，連接 ， .
①找出圖中與 相等的線段，并說(shuō)明理由；
②直接寫(xiě)出線段 長(zhǎng)的最大值.

（3）拓展
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 為線段 外一動(dòng)點(diǎn)，且 ， ， ，求線段 長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）CB的延長(zhǎng)線上,a+b
（2）解：①DC=BE,理由如下：

∵△ABD和△ACE為等邊三角形，

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB,

∴△CAD≌△EAB.

∴DC=BE.

②BE的最大值是4.

（3）解：如圖3，

構(gòu)造△BNP≌△MAP,則NB=AM,由（1）知，當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，NB有最大值（如備用圖）。

易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN= ，∴AM=NB=AB+AN=3+ ;過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PE=AE= ,又A（2，0）∴P（2- ， ）

【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)A在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得線段AC的長(zhǎng)取得最大值為a+b；

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論。
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果。
（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得PN=PA=2，BN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值；如圖2，過(guò)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．