Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，2），B（1，0）將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DEB．以A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在Y軸右側(cè)拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)△DEB的外心為M，將拋物線沿X軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，直接寫出M在拋物線內(nèi)部（指拋物線與X軸所圍成的部分）時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)梯形的判定求出當(dāng)DE∥PB時(shí)，即P點(diǎn)在X軸上，即y=0，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)直角三角形外心的性質(zhì)得出，M點(diǎn)是BD中點(diǎn)，進(jìn)而得出M點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)圖象向右平移t秒時(shí)，即二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=t，圖象過M點(diǎn)，求出t的值即可，進(jìn)而得出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵A（0，2），B（1，0）將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DEB，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，1），
∴A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)E的拋物線解析式為：y=ax²+c，
∴

c=2 1=a+c

，
∴

a=-1 c=2

．
∴y=-x²+2；

（2）當(dāng)DE∥PB時(shí)，即P點(diǎn)在X軸上，
∴0=-x²+2，
解得：x=±

2

，
∴PO=

2

，
∵AO=2，
∴DE=2，
∴PO≠DE，
∴四邊形EPOD是梯形，
∴在Y軸右側(cè)拋物線上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-

2

，0）；

（3）如圖所示：當(dāng)△DEB的外心為M，將拋物線沿X軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，
∴M在拋物線內(nèi)部（指拋物線與X軸所圍成的部分）時(shí)t的取值范圍是：2-

6

2

＜t＜2+

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及梯形的判定方法和三角形外心的性質(zhì)等知識(shí)，將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．