Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于點(diǎn)E，且點(diǎn)E恰好為DC的中點(diǎn)．求證：BE⊥AE，BE平分∠ABC．

Answer 1

分析 ①延長AE、BC交于點(diǎn)M，求出∠DAE=∠CME，AB=BM，根據(jù)ASA推出△ADE≌△MCE，根據(jù)全等得出AE=EM，∠DAE=∠M，求出∠M=∠BAE，推出AB=BM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．
②過E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF=DE，推出EF=CE，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可．

解答 ①解：如圖1中．延長AE、BC交于點(diǎn)M
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠CME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAM，
∴∠BAM=∠CME，
∴AB=BM，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，∠DAE=∠M
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠M=∠BAE，
∴AB=BM，
∵AE=EM，
∴BE⊥AM．
②證明：如圖2中，過E作EF⊥AB于F，
∵∠D=90°，AE平分∠BAD，
∴EF=DE，
∵E為DC中點(diǎn)
∴DE=EC，
∴EF=EC，
∵EF⊥AB，∠C=90°，
∴BE平分∠ABC；

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．