Question

【題目】如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且與小圓相交于點A，與大圓相交于點B．小圓的切線AC與大圓相交于點D，且CO平分∠ACB．
（1）試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）若AB=8，BC=10，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：BC所在直線與小圓相切．

理由如下：

過圓心O作OE⊥BC，垂足為E；

∵AC是小圓的切線，AB經(jīng)過圓心O，

∴OA⊥AC；

又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，

∴OE=OA，

∴BC所在直線是小圓的切線

（2）解：AC+AD=BC．

理由如下：

連接OD．

∵AC切小圓O于點A，BC切小圓O于點E，

∴CE=CA；

∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，

，

∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），

∴EB=AD；

∵BC=CE+EB，

∴BC=AC+AD

（3）解：∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，

∴AC=6cm；

∵BC=AC+AD，

∴AD=BC﹣AC=4cm，

∵圓環(huán)的面積為：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），

又∵OD2﹣OA2=AD2，

∴S=42π=16π（cm2）

【解析】（1）只要證明OE垂直BC即可得出BC是小圓的切線，即與小圓的關(guān)系是相切．（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，從而得出EB=AD，從而得到三者的關(guān)系是前兩者的和等于第三者．（3）根據(jù)大圓的面積減去小圓的面積即可得到圓環(huán)的面積．
【考點精析】利用直線與圓的三種位置關(guān)系和扇形面積計算公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．