Question

如圖，兩個反比例函數(shù)y1=

1

x

和y2=

2

x

在第一象限內(nèi)的圖象依次是C₁和C₂，設(shè)點(diǎn)p₁在c₂上，p₁E₁⊥x軸于點(diǎn)E₁，p₁D₁⊥y軸與點(diǎn)D₁，交C₁于點(diǎn)A₁交c₁與點(diǎn)B₁．
（1）求出四邊形P₁A₁OB₁的面積S₁；
（2）若y3=

3

x

在第一象限的圖象是c₃，p₂是C₃上的點(diǎn)，P₂E₂⊥x軸于點(diǎn)E₂，交C₂于點(diǎn)A₂，P₂D₂⊥y軸于點(diǎn)D₂，交C₂于點(diǎn)B₂，則四邊形P₂A₂OB₂的面積S₂=

1

．
（3）按此類推，試猜想四邊形P_nA_nOB_n的面積S_n=

1

，在所給坐標(biāo)系中畫出草圖，并驗(yàn)證你的猜想．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)P₁（x，y），A₁（x，y'），B₁（x'，y），得出x'y=1，xy'=1，再根據(jù)S△OB1D1=

1

2

OD₁•B₁D₁=

1

2

×y•x'，S△OA1E1=

1

2

OE₁•A₁E₁=

1

2

y'•x，S矩形OE1P 1D1=OD₁•OE₁=y•x，最后根據(jù)S₁=S矩形OE1P 1D1-S△OB1D1-S△OA1E1代入計(jì)算即可；
（2）由（1）同理即可得出四邊形P₂A₂OB₂的面積；
（3）先設(shè)P_n（x，y），A_n（x，y'），B_n（x'，y），根據(jù)點(diǎn)A_n，B_n在反比例函數(shù)yn-1=

n-1

x

圖象上，得出S_△OBnDn=

1

2

OD_n•B_nD_n=

1

2

×y•x'=

1

2

（n-1），S△OAnEn=

1

2

OE_n•A_nE_n=

1

2

y'•x=

1

2

（n-1），
根據(jù)點(diǎn)P_n在反比例函數(shù)yn=

n

x

上，得出xy=n，再根據(jù)S矩形OEnP nDn=OD_n•OE_n=y•x=n，最后根據(jù)S_n=S矩形OEnP nDn-S△OBnDn-S△OAnEn代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）設(shè)P₁（x，y），A₁（x，y'），B₁（x'，y），則OE₁=x，OD₁=y，A₁E₁=y'，B₁D₁=x'，
∵點(diǎn)A₁，B₁在反比例函數(shù)y1=

1

x

圖象上，
∴x'y=1，xy'=1，
∴S△OB1D1=

1

2

OD₁•B₁D₁=

1

2

×y•x'=

1

2

，S△OA1E1=

1

2

OE₁•A₁E₁=

1

2

y'•x=

1

2

，
∵點(diǎn)P₁在反比例函數(shù)y2=

2

x

上，
∴xy=2，
∴S矩形OE1P 1D1=OD₁•OE₁=y•x=2，
∴S₁=S矩形OE1P 1D1-S△OB1D1-S△OA1E1=2-

1

2

-

1

2

=1；
（2）由（1）同理可得，四邊形P₂A₂OB₂的面積S₂=1，
故答案為：1
（3）設(shè)P_n（x，y），A_n（x，y'），B_n（x'，y），則OE_n=x，OD_n=y，A_nE_n=y'，B_nD_n=x'，
∵點(diǎn)A_n，B_n在反比例函數(shù)yn-1=

n-1

x

圖象上，
∴x'y=n-1，xy'=n-1，
∴S_△OBnDn=

1

2

OD_n•B_nD_n=

1

2

×y•x'=

1

2

（n-1），
S△OAnEn=

1

2

OE_n•A_nE_n=

1

2

y'•x=

1

2

（n-1），
∵點(diǎn)P_n在反比例函數(shù)yn=

n

x

上，
∴xy=n，
∴S矩形OEnP nDn=OD_n•OE_n=y•x=n，
∴S_n=S矩形OEnP nDn-S△OBnDn-S△OAnEn=n-

1

2

（n-1）-

1

2

（n-1）=1；

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的解析式與三角形的面積和矩形的面積之間的關(guān)系，同時要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．