Question

10．如圖，在△ABC中，AB=CA，∠CAB=90°，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，
（1）請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABE≌△ACF，并證明；
（2）在（1）的條件下，判斷CF與BE的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件知△ABE和△ACF中，已有∠BAE=∠CAF=90°、AB=CA，若要△ABE≌△ACF，可根據(jù)SAS添加AE=AF、根據(jù)ASA添加∠ACF=∠ABE、根據(jù)AAS添加∠AEB=∠AFC、根據(jù)HL添加BE=CF等；
（2）判斷CF與BE的位置關(guān)系通常證垂直或平行，這里顯然證垂直，通過(guò)延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)D，只需證∠BDF=90°即∠ABE+∠AFC=90°即可，由（1）可得∠AFC=∠AEB且∠AEB+∠ABE=90°，從而得證．

解答 解：（1）當(dāng)AE=AF時(shí)，△ABE≌△ACF．
∵∠CAB=90°，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）CF⊥BE，
如圖，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)D，

∵△ABE≌△ACF，
∴∠AEB=∠AFC，
又∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠AFC+∠ABE=90°，
∴∠BDF=90°，即BD⊥CF，
故BE⊥CF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及兩直線的位置關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定是關(guān)鍵，了解兩直線的幾種位置關(guān)系是基礎(chǔ)．