【題目】如圖,在正方形中,是邊上一點,連接,過作于,交于.
(1)如圖1,連接,當,時,求的長;
(2)如圖2,對角線,交于點.連接,若,求的長;
(3)如圖3,對角線,交于點.連接,,若,試探索與的數(shù)量關系,并說明理由.
【答案】(1)BF=5;(2);(3);理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質和已知條件可證明得出△ABE≌△DAF,DF=AE=1,則可得出CF的值,再根據(jù)勾股定理即可可得答案.
(2)根據(jù)正方形ABCD對角線AC,BD相交于點O,即可得出∠CAB=∠ADB=45°,∠AOB=90°,又于P,∠APB=∠AOB=90°,即A,P,O,B四點共圓,∠OPB=∠OAB=45°,∠OPB=∠ADB ,再根據(jù)∠OBP=∠DBE,即可證明得出△OPB∽△EDB,可得,再根據(jù)DE=2AE=4,可得AD=AB=6,BD=,,,,即.
(3)連接EF,由(2)可得∠APB=∠AOB=90°,即A,P,O,B四點共圓,∠OPB=∠OAB=45°,∠DPE=∠OPB=45°,再根據(jù)A,P,O,B四點共圓有∠POA=∠PBA,則DEP=∠DAB+∠PBA=∠AOB+∠POA=∠POB,再根據(jù)∠DPE=∠OPB證明得出△DEP∽△BOP,即,再根據(jù)AF⊥BE,∠EDF=90°,得出EDF+∠EPF=180°,D,E,P,F四點共圓,∠DFE=∠DPE=45°,∠DEF=∠DFE=45°,DE=DF ,又AE=DF,于是AE=DE=,,,即可得出.
(1)解:∵正方形ABCD.
∴∠DAB=∠D=∠C=90°,AB=BC=DC=AD=4
∵于P.
∴∠EBA+∠FAB=90°,又∠DAF+FAB=90°.
∴∠EBA=∠DAF
又∠DAB=∠D,AB=DA.
∴△ABE≌△DAF.
∴DF=AE=1,
∴CF=DCDF=3
在Rt△BFC中,.
∴BF=5
(2)∵正方形ABCD對角線AC,BD相交于點O,
∴∠CAB=∠ADB=45°,∠AOB=90°
又于P. ∴∠APB=∠AOB=90°.
∴A,P,O,B四點共圓. ∴∠OPB=∠OAB=45°(也可由相似證得).
∴∠OPB=∠ADB
又∠OBP=∠DBE,∴△OPB∽△EDB,可得
又DE=2AE=4,可得AD=AB=6,BD=,,,
∴.
∴
(3)
理由如下:連接EF.
∵,由(2)問可知∠APB=∠AOB=90° ,∴A,P,O,B四點共圓,
∴∠OPB=∠OAB=45°,∴∠DPE=∠OPB=45°,
又A,P,O,B四點共圓有∠POA=∠PBA
∴DEP=∠DAB+∠PBA=∠AOB+∠POA=∠POB,
又∠DPE=∠OPB,∴△DEP∽△BOP,
∴
又AF⊥BE,∠EDF=90°,∴EDF+∠EPF=180°,
∴D,E,P,F四點共圓
∴∠DFE=∠DPE=45°,∴∠DEF=∠DFE=45°,有DE=DF
又AE=DF,于是AE=DE=,
∴,
∴
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過點(﹣1,0),對稱軸l如圖所示,則下列結論:①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正確的結論是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】張老師抽取了九年級部分男生擲實心球的成績進行整理,分成5個小組(x表示成績,單位:米).A組:5.25≤x<6.25;B組:6.25≤x<7.25;C組:7.25≤x<8.25;D組:8.25≤x<9.25;E組:9.25≤x<10.25,規(guī)定x≥6.25為合格,x≥9.25為優(yōu)秀.并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖(不完整).
(1)抽取的這部分男生有______人,請補全頻數(shù)分布直方圖;
(2)抽取的這部分男生成績的中位數(shù)落在_____組?扇形統(tǒng)計圖中D組對應的圓心角是多少度?
(3)如果九年級有男生400人,請你估計他們擲實心球的成績達到合格的有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某超市隨機選取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買.假定每位顧客購買商品的可能性相同.
商品 顧客人數(shù) | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
100 | √ | × | √ | √ |
217 | × | √ | × | √ |
200 | √ | √ | √ | × |
300 | √ | × | √ | × |
85 | √ | × | × | × |
98 | × | √ | × | × |
(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率為__________.
(2)如果顧客購買了甲,并且同時也在乙、丙、丁中進行了選購,則購買__________(填乙、丙、。┥唐返目赡苄宰畲螅
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【題目】對于平面內的點和點,給出如下定義:點為平面內一點,若點使得是以為頂角且小于90°的等腰三角形,則稱點是點關于點的銳角等腰點.如圖,點是點關于點的銳角等腰點.
在平面直角坐標系xOy中,點O為坐標原點
(1)已知點,在點,, ,中,是點關于點的銳角等腰點的是 ;
(2)已知點,點在直線上,若點是點關于點的銳角等腰點,求實數(shù)的取值范圍.
(3) 點是軸上的動點,,,點是以點為圓心,2為半徑的圓上一動點.且滿足,若直線上存在點關于點的銳角等腰點,請直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是⊙的直徑,是⊙的一條弦,,的延長線交⊙于點,交的延長線于點,連接,且恰好∥,連接交于點,延長交于點,連接.
(1)求證:是⊙的切線;
(2)求證:點是的中點;
(3)當⊙的半徑為時,求的值.
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【題目】“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長六寸,問徑幾何?”用現(xiàn)代的數(shù)學語言表述是:“CD為的直徑,弦,垂足為E,CE=1寸,AB=10寸,求直徑CD的長”,依題意得CD的長為( )
A.12寸B.13寸C.24寸D.26寸
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【題目】直線y=﹣x+c與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點.
(1)求拋物線表達式;
(2)點P為拋物線上的一個動點,過點P作垂直于x軸的直線分別交x軸和直線AB于M、N兩點,若P、M、N三點中恰有一點是其他兩點所連線段的中點(三點重合除外),請求出此時點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,直線l經過點A(不經過點B或點C),點C關于直線l的對稱點為點D,連接BD,CD.
(1)如圖1,
①求證:點B,C,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上;
②直接寫出∠BDC的度數(shù)(用含α的式子表示)為 ;
(2)如圖2,當α=60°時,過點D作BD的垂線與直線l交于點E,求證:AE=BD;
(3)如圖3,當α=90°時,記直線l與CD的交點為F,連接BF.將直線l繞點A旋轉的過程中,在什么情況下線段BF的長取得最大值?若AC=2a,試寫出此時BF的值.
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