Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．且A（-1，0），點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，m的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,二次函數(shù)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：首先可求得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求得C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是m的值，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．

解答：解：∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=

1

2

x²+bx-2上，
∴

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2=0，
∴b=-

3

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，-

25

8

），
作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2
連接C′D交x軸于點(diǎn)M，
根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最�。� 
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．
∵ED∥y軸，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴

OM

EM

=

OC′

ED

，
即

m

3 2 -m

=

2

25 8

，
∴m=

24

41

．
故答案為：

24

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出函數(shù)表達(dá)式，作出輔助線，找對(duì)相似三角形．