Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于點(diǎn)E，D在AB延長(zhǎng)線上，且∠DCB=∠A，BD：CD=1：2，AE=

4 5

5

，求S_△BCD．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：由條件可證得△BCD∽△CAD，由相似比為1：2可求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，由等積法可得CE•AB=AC•BC=2，可求出CE的長(zhǎng)，在Rt△CDE中求出BD的長(zhǎng)，即可求得面積．

解答：解：
∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴

BD

CD

=

BC

AC

=

CD

AD

=

1

2

，
∴設(shè)BC=x，則AC=2x，AB=

5

x，
AC²=AE•AB，即4x²=

4 5

5

×

5

x，
解得x=1，則BC=1，AC=2，AB=

5

，
BE=AB-AE=

5

-

4 5

5

=

5

5

，
利用面積相等可得：CE•AB=AC•BC=2，
∴CE=

2

5

=

2 5

5

，
設(shè)BD=y，則CD=2y，
在Rt△CDE中
CD²=CE²+（BE+BD）²，
即4y²=

4

5

+（

5

5

+y）²，解得y=

5

3

（負(fù)值舍去），
∴S_△BCD=

1

2

CE•BD=

1

2

×

2 5

5

×

5

3

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，注意等積法的應(yīng)用．兩個(gè)三角形高相等，底邊成倍數(shù)關(guān)系，面積也成同樣的倍數(shù)關(guān)系；同理，兩個(gè)三角形底相等、高成倍數(shù)關(guān)系、面積也成同樣的倍數(shù)關(guān)系．運(yùn)用這些性質(zhì)使題目簡(jiǎn)便得到解答，就叫做等積法．