Question

【提出問題】

（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】

（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立；理由見解析；（3）∠ABC=∠ACN；理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論；

（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據(jù)∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論．

試題解析：(1) 證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN．

（2）【解析】
結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立；

理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN．

（3）【解析】
∠ABC=∠ACN；

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，

∴△ABC∽△AMN，

∴，

又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM∽△CAN，

∴∠ABC=∠ACN．

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等邊三角形的性質(zhì)．