Question

已知：拋物線y=-x²+（m+2）x+m-1與x軸交于A、B兩點（點A、B分別在原點O的左、右兩側(cè)），以O(shè)A、OB為直徑作⊙O₁和⊙O₂．
（1）請問：⊙O₁和⊙O₂，能否為等圓？若能，求出其半徑的長度；若不能，說明理由；
（2）設(shè)拋物線向上平移4個單位后，⊙O₁、⊙O₂的面積分別成為S₁、S₂，且4S₂-16S₁=5π，求平移后所得拋物線的解析式；
（3）由（2）所得的拋物線與y軸交于點C，⊙O₁和⊙O₂的一條外公切線MN分別交x軸和y軸于點P、Q（M、N為切點，如圖所示），求△CPQ的面積．

Answer 1

解：（1）不能為等圓；
設(shè)A、B兩點的坐標分別為（x₁，0）（x₂，0）
x₁•x₂=-（m-1）＜0，m＞1
∴x₁+x₂=m+2＞0
即x₁+x₂≠0，
∴A、B兩點到原點距離不能相等
即⊙O₁和⊙O₂的直徑不相等．

（2）拋物線向上平移4個單位，解析式為
y=-x²+（m+2）x+m+3
令y=0，x₁=-1，x₂=m+3
∴⊙O₁，⊙O₂的半徑分別為1，m+3；
∵4S₂-16S₁=5π
∴（m+3）²-4=5
m₁=0，m₂=-6
當(dāng)m=0時，y=-x²+2x+3
當(dāng)m=-6時，y=-x²-4x-3
此時x₁x₂=3＞0，不合題意，舍去
∴所求拋物線解析式為y=-x²+2x+3．

（3）連接O₁M，O₂N，過O₁作O₁D⊥O₂N于D，則O₁M=，O₂N=
∴O₁O₂=2，O₁D=1
直角三角形O₁O₂D中，∠O₂O₁D=30°，
∴∠OPQ=30°，
直角三角形O₂PM中，O₂M=，
∴O₂P=1
∴OP=，OQ=，CQ=3+
∴S_△PCQ=CQ•OP=+．
分析：（1）設(shè)A、B兩點的坐標分別為（x₁，0）（x₂，0），由于A、B位于原點兩側(cè)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁x₂＜0，即m＞1．而要使兩圓為等圓，必須滿足的條件是拋物線的對稱軸為y軸，即m=-2，因此兩圓不可能成為等圓．
（2）平移后拋物線的解析式為y=-x²+（m+2）x+m+3，可用十字相乘法得出A、B兩點的坐標，也就求出了OA，OB的長，然后根據(jù)4S₂-16S₁=5π，即可求出m的值．也就能求出平移后拋物線的解析式了．
（3）可連接O₁M和O₂N，過O₁作O₂N的垂線，通過兩圓的半徑和以及半徑差求出OPQ的正弦值，然后在直角三角形PMO₁中，根據(jù)⊙O₁的半徑和∠OPQ的正弦值求出PM和PO₁的長，進而可求出OP、PQ、OQ的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出△CPQ的面積．
點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的圖形的平移、二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．