Question

2．定義一種變換：平移拋物線F₁得到拋物線F₂，使F₂經(jīng)過F₁的頂點(diǎn)A．設(shè)F₂的對(duì)稱軸分別交F₁、F₂于點(diǎn)D、B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）如圖1，若F₁：y=x²，經(jīng)過變換后，得到F₂：y=x²+bx，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），則：
①b的值等于-2；②四邊形ABCD的面積為2；
（2）如圖2，若F₁：y=ax²+c，經(jīng)過變換后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，c-1），求出△ABD的面積；
（3）如圖3，若F₁：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$，經(jīng)過變換后，AC=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得b的值；②根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B、D的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形的面積是對(duì)角線乘積的一半，可得答案；
（2）根據(jù)平移規(guī)律，可得頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-2）²+c-1，根據(jù)待定系數(shù)法，可得a的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)A，根據(jù)AC的距離，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得F₂，根據(jù)菱形的判定，可得ABCD的形狀，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得PB與PD的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得P在過B垂直AD的線段上，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，2²+2b=0，解得b=-2，
F₂的解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），
當(dāng)x=1時(shí)，y=1²=1，即D（1，1），
BD=1-（-1）=2，AC=2．
S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
故答案為：-2，2；
（2）y=ax²+c的頂點(diǎn)A坐標(biāo)是（0，c）．
∵F₂的解析式為y=a（x-2）²+c-1，而A（0，c）在F₂上，得
a=$\frac{1}{4}$．
當(dāng)x=2時(shí)，y=1+c，即D（2，1+c），
∴DB=（1+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)（如圖1），
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N，拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$，配方得y=$\frac{1}{3}$（x-1）²+2，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，2），
∵AC=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2$\sqrt{3}$，2）．
∵F₂過點(diǎn)A，
∴F₂解析式為y=$\frac{1}{3}$（x-1-$\sqrt{3}$）²+1，
∴B（1+$\sqrt{3}$，1），
∴D（1+$\sqrt{3}$，3），
∴NB=ND=1，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱，
∴AC⊥DB，且AN=CN
∴四邊形ABCD是菱形．∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H，則PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是點(diǎn)B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h(yuǎn)．
∵ND=1，AN=$\sqrt{3}$，DB⊥AC，∴∠DAN=30°，
故△ABD是等邊三角形．
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
∴最小值為$\sqrt{3}$．
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)（如圖2），同理，最小值為$\sqrt{3}$．
綜上，點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為$\sqrt{3}$．
，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積是對(duì)角線乘積的一半是解題關(guān)鍵；利用了菱形的判定與性質(zhì)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出PB與PD的關(guān)系是解題關(guān)鍵，又利用了垂線段的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．