Question

6．如圖1，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，點E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、AD的中點，連接EF、FG、GH、EH、BD分別與EF、HG相交于點M、N，AC分別與EH、FG相交于點P、Q．

（1）求證：四邊形EFGH為矩形；
（2）如圖2，連接FH，若FH經(jīng)過點O，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中面積相等的矩形．

Answer 1

分析 （1）證明EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，由三角形中位線定理得出EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G∥BD，且FG=$\frac{1}{2}$BD，EF∥AC∥GH，證出四邊形EFGH是平行四邊形，由AC⊥BD，得出EF⊥EH，∠FEH=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得出四邊形EFGH是平行四邊形，同理：四邊形EFKS、四邊形SKGH、四邊形EMOS，…都是矩形，得出△EFH的面積=△GFH的面積，△OMN的面積=△OFK的面積，△OHS的面積=△OHN的面積，因此矩形EMOS的面積=矩形OKGN的面積，得出矩形EFKS的面積=矩形MFGNH的面積，矩形EMNH的面積=矩形GHSK的面積．

解答 （1）證明：∵點E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、AD的中點，
∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，
∴EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G∥BD，且FG=$\frac{1}{2}$BD，
同理：EF∥AC∥GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四邊形EFGH是矩形．
（2）解：如圖所示：
由（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，
同理：四邊形EFKS、四邊形SKGH、四邊形EMOS，…都是矩形，
∴圖中共有9個矩形，△EFH的面積=△GFH的面積，△OMN的面積=△OFK的面積，△OHS的面積=△OHN的面積，
∴矩形EMOS的面積=矩形OKGN的面積，
∴矩形EFKS的面積=矩形MFGNH的面積，矩形EMNH的面積=矩形GHSK的面積．

點評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線定理等知識；由三角形中位線定理證出四邊形EFGH是平行四邊形是解決問題的突破口．