Question

已知x、y均為實(shí)數(shù)，且滿足xy+x+y=17，x²y+xy²=66，求：代數(shù)式x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴的值．

Answer 1

分析：由已知條件xy+（x+y）=17，x²y+xy²=xy（x+y）=66，可以看出xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得出xy=11，x+y=6時(shí)，x、y是方程v²-6v+11=0的兩個(gè)根或xy=6，x+y=11時(shí)，x、y是方程u²-11u+6=0的兩個(gè)根，根據(jù)根的判別式△=b²-4ac，判斷兩個(gè)方程有無實(shí)數(shù)根，有實(shí)數(shù)根時(shí)可以整理出x²+y²=（x+y）²-2xy，把原代數(shù)式化簡(jiǎn)為含x²+y²的形式，代入求值即可．

解答：解：由已知條件可知xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由t₁=6，t₂=11
得

xy=6 x+y=11

或

xy=11 x+y=6

當(dāng)xy=11，x+y=6時(shí)，x、y是方程v²-6v+11=0的兩個(gè)根
∵△₁=36-44＜0
∴此方程沒有實(shí)數(shù)根
當(dāng)xy=6，x+y=11時(shí)，x、y是方程u²-11u+6=0的兩個(gè)根
∵△₂=121-24＞0
∴此方程有實(shí)數(shù)根，這時(shí)x²+y²=（x+y）²-2xy=109
∴x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴=x⁴+y⁴+x²y²+xy（x²+y²）=（x²+y²）²-x²y²+xy（x²+y²）=12499．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，主要考查：
①一元二次方程根的判別式的有關(guān)內(nèi)容．根的判別式△=b²-4ac＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
②一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果一個(gè)一元二次方程的兩根是x₁、x₂，那么這個(gè)一元二次方程為x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂=0．