Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從D開(kāi)始向A以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t表示時(shí)間（0≤t≤6）則：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（2）設(shè)△PCQ的面積=S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并探索S的最值情況．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）使△QAP∽△PBC，△PAQ∽△PBC兩種情況討論即可得出以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△PBC相似．
（2）利用△PCQ的面積為S=S_ABCD-S_APQ-S_CBP-S_CDQ即可求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵AB=12，BC=6，
v_P=2，v_Q=1，
AP=v_Pt=2t，
DQ=v_Qt=t，
AQ=DA-DQ=6-t，
∴BP=AB-AP=12-2t=2（6-t），
當(dāng)△QAP∽△PBC時(shí)：
QA：PB=AP：BC，
（6-t）：（12-2t）=2t：6，
t=1.5，
當(dāng)△PAQ∽△PBC時(shí)：，
PA：PB=AD：BC，
2t：（12-2t）=（6-t）：6，
（6-t）²=6t，
t²-18t+36=0，
（t-9）²=45
t=9±3

5

，
t=9+

5

＞6，舍去，
∴t=9-3

5

，
綜上：t=1.5，或t=9-3

5

；
（2）依題意，得S=S_矩形ABCD-S_△QDC-S_△QAP-S_△PBC
整理，得S=t²-6t+36．
配方，得S=（t-3）²+27．
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=t²-6t+36．
當(dāng)t=3時(shí)，S有最小值，最小值是27．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道很不錯(cuò)的中考題．