Question

平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點A、B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對稱軸直線x=-1交x軸于點E，點D為頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AC下方的拋物線上一點，且S_△PAC=2S_△DAC，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且∠MAC=∠ADE，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由已知中點A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對稱軸為直線x=-1，得出B點坐標(biāo)，進(jìn)而利用交點式求出即可求出拋物線的解析式；
（2）由已知中C點坐標(biāo)，再假設(shè)出P點坐標(biāo)，可求出直線PC解析式，求出R點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)S_△PAC=2S_△DAC，可得點P的坐標(biāo)；
（3）過點C作CH⊥DE交DE于點H，設(shè)AC交對稱軸于點G，AM交y軸于點N，由∠MAC=∠ADE，可得N點坐標(biāo)，進(jìn)而求出AN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得M點坐標(biāo)．

解答：解：（1）由對稱軸x=-1，A（-3，0），可得B點坐標(biāo)（1，0）
設(shè)y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得，4=-8a，
解得：a=-1，
所求解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）如圖：y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，頂點D（-1，4），
由A（-3，0）、C（0，3），得直線AC解析式為y=x+3；
設(shè)對稱軸交AC于點G，則G（-1，2），
∴S_△DAC=

1

2

（4-2）×3=3，
設(shè)P點（m，-m²-2m+3），
設(shè)PC解析式為：y=qx+p，
∴

p=3 mk+3=-m2-2m+3

，
解得：k=-m-2，
∴PC解析式為：y=（-m-2）x+3，
設(shè)PC與x軸交于點R，
∴R（

3

m+2

，0），
∴AR=3+

3

m+2

，
∴S_△APR+S_△CAR=

1

2

（3+

3

m+2

）×（m²+2m-3）+

1

2

×（3+

3

m+2

）×3=

3m2

2

+

9m

2

，
則S_△PAC=

3m2

2

+

9m

2

，
由S_△PAC=2S_△DAC，∴

3m2

2

+

9m

2

=2×3，
解得：m₁=-4，m₂=1，把m₁=-4，m₂=1分別代入y=-x²-2x+3中，
∴y₁=-5，y₂=0，
∴P點坐標(biāo)為（-4，-5）或（1，0）；              
或把直線AC向下平移4個單位得y=x-1，求此直線與拋物線的交點坐標(biāo)；

（3）由以上可得出：D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），
如備用圖：過點C作CH⊥DE交DE于點H，
∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=

2

，AC=3

2

，△ACD為直角三角形，且tan∠DAC=

1

3

．
設(shè)AC交對稱軸于點G，AM交y軸于點N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=

1

3

．
∵A（-3，0），
∴ON=1，即N（0，1），
設(shè)直線AN解析式為：y=dx+h
∴

h=1 -3d+h=0

，
解得：

h=1 d= 1 3

，
∴直線AN解析式為y=

1

3

x+1，
聯(lián)立方程

y= 1 3 x+1 y=-x2-2x+3

得：x=-3（舍）或x=

2

3

，
∴點M的坐標(biāo)為（

2

3

，

11

9

）．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是二次函數(shù)與解析幾何知識的綜合應(yīng)用，難度較大．