【題目】(1)觀察發(fā)現(xiàn):如圖1,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,分別以AB,BC為邊,向外作正方形ABDE和正方形BCFG,連接DG.若M是DG的中點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn):BM=AC.

請(qǐng)完善下面證明思路:①先根據(jù)  ,證明BM=DG;②再證明   ,得到DG=AC;所以BM=AC;

(2)數(shù)學(xué)思考:若將上題的條件改為:“已知Rt△ABC,∠ABC=90°,分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACHI,N是EI的中點(diǎn)”,則相應(yīng)的結(jié)論“AN=BC”成立嗎?

小穎通過(guò)添加如圖2所示的輔助線驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.請(qǐng)寫(xiě)出小穎所添加的輔助線的作法,并由此證明該結(jié)論;

(3)拓展延伸:如圖3,已知等腰△ABC和等腰△ADE,AB=AC,AD=AE.連接BE,CD,若P是CD的中點(diǎn),探索:當(dāng)∠BAC與∠DAE滿足什么條件時(shí),AP=BE,并簡(jiǎn)要說(shuō)明證明思路.

【答案】(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,△BDG≌△BAC;(2)能,理由見(jiàn)解析;(3)當(dāng)∠BAC=∠DAE=90°時(shí),AP=BE,

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論;
(2)過(guò)IIK⊥EAEA的延長(zhǎng)線于K,根據(jù)平角的定義得到∠BAC=∠IAK,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=IK,AB=AK,等量代換得到AE=AI,推出AN是△EKI的中位線,于是得到結(jié)論.
(3)延長(zhǎng)BAF,使AF=AB,連接EF,過(guò)AAG∥BE,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到AG= BE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠AEF,EF=CD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

試題解析:

(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,②△BDG≌△BAC;

故答案為:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,△BDG≌△BAC;

(2)能,

理由:過(guò)I作IK⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于K,

∵∠EAI+∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°,∠EAI+∠TAK=180°,

∵∠BAC=∠IAK,

在△ABC與△AKI中,,

∴△ABC≌△AKI,

∴BC=IK,AB=AK,

∵AE=AB,

∴AE=AI,

∵N是EI的中點(diǎn),

∴AN是△EKI的中位線,

∴AN=IK,

∴AN=BC;

(3)當(dāng)∠BAC=∠DAE=90°時(shí),AP=BE,

延長(zhǎng)BA到F,使AF=AB,連接EF,過(guò)A作AG∥BE,

∴EG=EF,

∴AG=BE,

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠CAD=180°﹣∠BAE,

∵∠FAE=180°﹣BAE,

∴∠CAD=∠FAE,

在△ACD與△AFE中,,

∴△ACD≌△FAE,

∴∠ADC=∠AEF,EF=CD,

∵P是CD的中點(diǎn),

∴DP=CD,

∴EG=DP,

在△ADP與△AEG中,,

∴△ADP≌△AEG,

∴AP=AG,

∴AP=BE.

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(1)A、B兩點(diǎn)之間的距離是 米,甲機(jī)器人前2分鐘的速度為 米/分;

(2)若前3分鐘甲機(jī)器人的速度不變,求線段EF所在直線的函數(shù)解析式;

(3)若線段FG∥x軸,則此段時(shí)間,甲機(jī)器人的速度為 米/分;

(4)求A、C兩點(diǎn)之間的距離;

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