Question

1．如圖，已知正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，CF=3DF，求證：∠BEF為直角．

Answer 1

分析 設(shè)正方形的邊長4a，分別利用勾股定理求出△BEF各邊的長，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理判斷出△BEF為直角三角形．

解答 解：設(shè)正方形的邊長4a，
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE=2a，
∵CF=3DF，
∴CF=3a，DF=a，
在△BAE中，
∵BE²=AB²+AE²，
∴BE=$\sqrt{16{a}^{2}+4{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
在△EDF中，
∵EF²=DE²+DF²，
∴EF=$\sqrt{4{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
在△BCF中，
∵BF²=BC²+CF²，
∴BF=$\sqrt{16{a}^{2}+9{a}^{2}}$=5a，
在△BEF中，
∵BE²+EF²=BE²，
∴△BEF是直角三角形，
∴∠BEF為直角．

點(diǎn)評 本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是用a表示出△DEF三邊的長，此題難度不大．