Question

7．南沙群島自古以來(lái)就是中國(guó)的領(lǐng)土，但南沙群島中只喲部分島嶼受中國(guó)的控制，赤瓜礁就是其中之一．以赤瓜礁為圓心，在周?chē)?2海里范圍內(nèi)均屬于禁區(qū)，不允許他國(guó)船只進(jìn)入．今有一中國(guó)海監(jiān)船（記作A）正以14海里/小時(shí)的速度在位于赤瓜礁（記作B）北偏東15°的海域中巡邏，海監(jiān)船上的值班人員發(fā)現(xiàn)在赤瓜礁的正東方向24海里有一艘外國(guó)漁船（記作C），其正以10海里/小時(shí)的速度沿正西方向駛向赤瓜礁，中方立即向外國(guó)漁船發(fā)出警告，此時(shí)外國(guó)漁船在中國(guó)海監(jiān)船的南偏東30°的方向上，如圖所示．
（1）當(dāng)外國(guó)漁船受到警告信號(hào)后，必須轉(zhuǎn)向沿北偏西多少度航行，才能恰好避免進(jìn)入赤瓜礁12海里禁區(qū)？
（2）求中國(guó)海監(jiān)船與赤瓜礁之間的距離；（結(jié)果可以保留根號(hào)）
（3）在外國(guó)漁船受到警告信號(hào)后，向中方發(fā)出求救信號(hào)，并說(shuō)明該漁船上有人需要急救，中方的醫(yī)生恰好在中國(guó)海監(jiān)船上，于是兩船以最短距離相向而行，求該漁船上的病人經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后可以得到救助？（取$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作⊙B的切線CD，切點(diǎn)為D．連接BD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠BCD=30°，得到答案；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，根據(jù)正弦的概念求出BE，根據(jù)余弦的概念求出AB；
（3）根據(jù)題意求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)速度、距離、時(shí)間的關(guān)系列式計(jì)算即可．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)C作⊙B的切線CD，切點(diǎn)為D．連接BD，
則BD⊥CD．
由題意可得BC=24，BD=12，
∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴必須轉(zhuǎn)向沿北偏西60°航行，才能恰好避免進(jìn)入赤瓜礁12海里禁區(qū)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，交AC于點(diǎn)E．
由題意得，∠ACB=60°．
∵BE⊥AC，
∴∠CBE=30°，sin∠ACB=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵BC=24，
∴BE=12$\sqrt{3}$，
又∠ABC=75°，
∴∠ABE=45°，
∴AB=12$\sqrt{6}$，
∴中國(guó)海監(jiān)船與赤瓜礁之間的距離為12$\sqrt{6}$海里；
（3）∵CE=12，AE=12$\sqrt{3}$，
∴AC=12+12$\sqrt{3}$≈32.76（海里）．
∵中國(guó)海監(jiān)船的速度為14海里/小時(shí)，外國(guó)漁船的速度為10海里/小時(shí)，并且兩船以最短距離相向航行，
∴32.76÷（14+10）=1.365（小時(shí)），
即該漁船上的病人經(jīng)過(guò)1.365小時(shí)后可以得到救助．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．