Question

已知以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦CD交小圓于點(diǎn)E、F，OE、OF的延長線分別交大圓于點(diǎn)A、B．
（1）求證：CE=DF；
（2）求證：AC=BD；
（3）若CD=4，EF=2，求這兩個(gè)圓圍成圓環(huán)的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）過點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論；
（2）連接OC、OD，則△OCD和△OEF都是等腰三角形，有∠OCD=∠ODC，∠OEF=∠OFE，由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，得∠AOC=∠BOD，再由在同圓中相等的圓心角對的弧相等得AC=BD；
（3）根據(jù)勾股定理求出OC及OE的長，由S_{圓環(huán)}=S_大圓-S_小圓即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）過點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G，
∵CD是兩同心圓的弦，
∴CG=DG，EG=FG，
∴CG-EG=DG-FG，即CE=DF；

（2）連接OC、OD，
∵OC=OD，OE=OF，
∴∠OCD=∠ODC，∠OEF=∠OFE，
∠OEF=∠C+∠COA=∠D+∠BOD=∠OFE，
∴∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD；

（3）∵CD=4，EF=2，CG=DG，EG=FG，
∴CG=2，EG=1，
∴OC²=CG²+OG²=2²+OG²，OE²=EG²+OG²=1²+OG²，
∴S_{圓環(huán)}=S_大圓-S_小圓=πOC²-πOE²=π（OC²-CG²）=π（2²+OG²-1²-OG²）=3π．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．