Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E是BC的中點．求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：先連接OD和BD，根據(jù)圓周角定理求出∠ADB=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．

解答：證明：連接OD，BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E為BC的中點，
∴DE=BE=CE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠ODE=90°，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．