Question

如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（1,0）、C，交y軸于點B，對稱軸x=-1與x軸交于點D．

（1）求該拋物線的解析式和B、C點的坐標；

（2）設點P（x，y）是第二象限內該拋物線上的一個動點，△PBD的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）點G在x軸負半軸上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐標；

（4）若此拋物線上有一點Q，滿足∠QCA=∠ABO,若存在，求直線QC的解析式；若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

（1）y=-x2-2x+3，C（-3,0）、B（0,3）；（2）S=－x2-（-3＜x＜0）；（3）G（-4,0）；(4)存在，，或.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（1，0），對稱軸為x=-1，列出關于b、c的方程組，解方程組求出b、c的值，得到拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；再解方程-x2-2x+3=0，求出x的值，得到C點的坐標；將x=0代入y=-x2-2x+3，求出y的值，得到B點的坐標；

（2）過點P作PE⊥x軸于點E，根據(jù)S=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE求出S關于x的函數(shù)關系式，再根據(jù)點P（x，y）是第二象限內該拋物線上的一個動點，得出自變量x的取值范圍；

（3）設G點坐標為（a，0），則a＜0．根據(jù)等角對等邊得出GB=GA，由此列出方程a2+32=（1-a）2，解方程求出a的值，即可得到G點坐標；

（4）先根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tan∠ABO=，由于∠QCA=∠ABO，得到tan∠QCA=，再由直線斜率的意義可知直線QC的斜率|k|=，則k=±．由此可設直線QC的解析式為y=x+n，或y=-x+n，然后將C點坐標（-3，0）代入，求出n的值，即可得到直線QC的解析式．

試題解析：(1) b=-2，c=3 ，C（-3,0）、B（0,3）

(2)過點P作PE⊥x軸于點E．

S=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=．

將y=－x2-2x+3代入得S=－x2-x+-﹣=－x2-x．

∴-3＜x＜0．

∴S關于x的函數(shù)關系式為：S=－x2-（-3＜x＜0）．

（3）G（-4,0）

(4)存在

直線QC解析式為，或.

考點：二次函數(shù)綜合題．