Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點，∠CAD=∠CAB，CD⊥AD于D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）如果AB=5，cos∠CAB=，求AD的長．

Answer 1

解：如右圖所示．
（1）證明：連接CO，
∵CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAD=∠CAB，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴DC⊥OC，
又∵CO是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連接CB．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，cos∠CAB=，
∴AC=4，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠CAD=∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴，
∴AD=．
分析：（1）連接CO，由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，而∠CAD=∠CAB，于是∠OCA=∠CAD，可證OC∥AD，而CD⊥AD，易證∠OCD=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）連接CB，在Rt△ABC中，易求AC，又CD⊥AD，易得∠ADC=∠ACB=90°，而∠CAD=∠CAB，那么Rt△ACD∽Rt△ABC，利用比例線段可求AD．
點評：本題考查了平行線的判定和性質、切線的判定和性質、相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是連接OC、BC，構造平行線和直角三角形，并證明OC∥AD、Rt△ACD∽Rt△ABC．