Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C三點(diǎn)，P（2，m）是拋物線與直線l：y=k（x+1）的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于動(dòng)點(diǎn)Q（1，n），求QB-QP的最大值；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M在直線l：y=k（x+1）上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)F，如果直線AP把線段MF分成1：2的兩部分，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接把A（-1，0）、B（3，0）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+3，求出a、b的值，進(jìn)而得出二次函數(shù)的解析式，再令x=0求出y的值即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)（1，n）在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，故當(dāng)點(diǎn)Q、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，QB-QP的值最大，最大值為QB-QP=PB，把x=2代入y=-x²+2x+3可求出y的值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論；
（3）把P（2，3），代入直線y=k（x+1）得，k=1，故可得出直線l的關(guān)系式為y=x+1，再根據(jù)AP把線段MF分成1：2兩部分，可得出

EF

MF

=

1

3

或

EF

MF

=

2

3

，
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，解得

a=-1 b=2

，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3，D（0，3）；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴動(dòng)點(diǎn)（1，n）在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，
∴當(dāng)點(diǎn)Q、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，QB-QP的值最大，最大值為QB-QP=PB，
把x=2代入y=-x²+2x+3得，y=3，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），
∵B（3，0），
∴QB-QP=PB=

12+32

=

10

；

（3）∵把P（2，3），代入直線y=k（x+1）得，k=1，
∴直線l的關(guān)系式為y=x+1，
∵AP把線段MF分成1：2兩部分，
∴

EF

MF

=

1

3

或

EF

MF

=

2

3

，
∵∠PAB=45°，
∴EF=AF，
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則

x+1

-(x+1)(x-3)

=

1

3

或

x+1

-(x+1)(x-3)

=

2

3

，解得x=0或x=

3

2

，代入y=x+1得，y=3或y=

15

4

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3），（

3

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、最值問題等知識(shí)，難度適中．