Question

11．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，把△BCD沿對角線BD翻折得到△BC′D，連接AC′，則線段AC′的長度為（　�。�

• A． $\frac{12}{5}$
• B． 4
• C． $\frac{12\sqrt{5}}{5}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)AD與BC′交于點F．根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD=BC=8，AD∥BC，∠BAD=90°．設(shè)FD=x，則AF=8-x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CBD=∠C′BD．由AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，那么∠C′BD=∠ADB，BF=FD=x．在直角△AFB中根據(jù)勾股定理得出x²=（8-x）²+16，解方程求出x=5，則BF=FD=5，AF=8-x=3．然后根據(jù)△AFC′∽△DFB，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AC′=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：如圖，設(shè)AD與BC′交于點F．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，∠BAD=90°．
設(shè)FD=x，則AF=8-x，
∵把△BCD沿對角線BD翻折得到△BC′D，
∴∠CBD=∠C′BD．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠C′BD=∠ADB，
∴BF=FD=x．
在直角△AFB中，∵∠BAF=90°，AB=4，AF=8-x，BF=x，
∴x²=（8-x）²+16，
解之得，x=5，
則BF=FD=5，AF=8-x=3．
∵△AFC′∽△DFB，
∴$\frac{AC′}{BD}$=$\frac{AF}{DF}$，即$\frac{AC′}{\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，
解得AC′=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故選C．

點評 本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應(yīng)角相等．同時考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．