Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC經(jīng)過(guò)⊙H的圓心交⊙H于點(diǎn)D、E，AB、AC是圓的切線，F(xiàn)、G是切點(diǎn)．
（1）求證：BH=CH；
（2）①當(dāng)∠FED=22.5°時(shí)，四邊形AFHG是平行四邊形；
②當(dāng)∠FED=15°時(shí)，△AFG是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，由AB、AC是圓的切線，F(xiàn)、G是切點(diǎn)，得到∠BFH=∠CGH=90°，推出△BFH≌△CGH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①當(dāng)∠FED=22.5°時(shí)，四邊形AFHG是平行四邊形；由圓周角定理得到∠FHB=45°，求得∠FHG=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到結(jié)論；
②當(dāng)∠FED=15°時(shí)，四邊形AFHG是平行四邊形；由圓周角定理得到∠FHB=30°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠GHC=∠BHF=30°，求得∠B=∠C=60°，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB、AC是圓的切線，F(xiàn)、G是切點(diǎn)，
∴∠BFH=∠CGH=90°，
在△BHF與△CGH中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BFH=∠CGH}\\{FH=GH}\end{array}\right.$，
∴△BFH≌△CGH，
∴BH=CH；

（2）①解：當(dāng)∠FED=22.5°時(shí)，四邊形AFHG是平行四邊形；
∵∠FED=22.5°，
∴∠FHB=45°，
∵△BFH≌△CGH，
∴∠GHC=∠BHF=45°，
∴∠FHG=90°，
∴∠AFH=∠EHF=∠AGH=90°，
∴四邊形AFHG是矩形，
∴四邊形AFHG是平行四邊形；
故答案為：22.5°；

②當(dāng)∠FED=15°時(shí)，四邊形AFHG是平行四邊形；
∵∠FED=15°，
∴∠FHB=30°，
∵△BFH≌△CGH，
∴∠GHC=∠BHF=30°，
∵∠BFH=∠CGH=90°，
∴∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
故答案為：15°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等邊三角形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．