Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ C=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，經(jīng)過B、D兩點的⊙O交AB 于點E，交BC于點F， EB為⊙O的直徑．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）當BC=2，cos∠ABC=時，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結OD，可證得OD∥BC，得到∠ADO=∠C=90°，從而得出結論；

（2）由cos∠ABC=，得到AB=6，由△AOD∽△ABC，得到圓的半徑．

試題解析：（1）證明：如圖，連結OD，∴OD=OB，∴∠1=∠2，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3．∴OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°，∴OD⊥AC，∵OD是⊙O的半徑，∴ AC是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=2 ， cos∠ABC ，∴ ．設⊙O的半徑為，則AO=6－r，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴ ，∴ ，解得 ，∴ ⊙O的半徑為．

考點：1．切線的判定；2．相似三角形的判定與性質．