Question

4．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是邊AB上的一點，E是邊AC上的一點（D，E均與端點不重合），如果△CDE與△ABC相似，那么CE=2，$\frac{25}{8}$，$\frac{36}{25}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，再分類討論：當△ABC∽△CDE，如圖1，則∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，所以CE=AE，根據等腰三角形得CE=$\frac{1}{2}$AC=2；當△ABC∽△DCE，如圖2，則∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，接著證明CD⊥AB，利用面積法可計算出CD=$\frac{12}{5}$，利用相似比可計算出CE=$\frac{36}{25}$；當△ABC∽△CED，如圖3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，證明CD為斜邊上的中線，則CD=DA=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，然后利用相似比可計算出CE=$\frac{25}{8}$，綜上所述，CE的長為2，$\frac{25}{8}$，$\frac{36}{25}$．

解答 解：∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，
當△ABC∽△CDE，如圖1，則∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，
∴△ADC為等腰三角形，
∴CE=AE，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2；
當△ABC∽△DCE，如圖2，則∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，
而∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∵△ABC∽△DCE，
∴AB：CD=BC：CE，即5：$\frac{12}{5}$=3：CE，
∴CE=$\frac{36}{25}$；
當△ABC∽△CED，如圖3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，
∴DC=DA，
∵∠A+∠B=90°，∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴DB=DC，
∴CD=DA=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵△ABC∽△CED，
∴CE：AB=CD：AC，即CE：5=$\frac{5}{2}$：4，
∴CE=$\frac{25}{8}$，
綜上所述，CE的長為2，$\frac{25}{8}$，$\frac{36}{25}$．
故答案為2，$\frac{25}{8}$，$\frac{36}{25}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了分類討論的思想．