Question

如圖，已知∠ABC=90°，AB=BC．直線l與以BC為直徑的圓O相切于點(diǎn)C．點(diǎn)F是圓O上異于B、C的動(dòng)點(diǎn)，直線BF與l相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作AF的垂線交直線BC與點(diǎn)D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的長；
（2）證明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求動(dòng)點(diǎn)F在什么位置時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)D位于線段BC的延長線上，且使BC=

3

CD，請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由直線l與以BC為直徑的圓O相切于點(diǎn)C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，則可證得△CEF∽△BEC，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得EF的長；
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根據(jù)同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，則可證得△CDF∽△BAF；
②由△CDF∽△BAF與△CEF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易證得

CD

BA

=

CE

BC

，又由AB=BC，即可證得CD=CE；
（3）由CE=CD，可得BC=

3

CD=

3

CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度數(shù)，則可得F在⊙O的下半圓上，且

BF

=

2

3

BC

．

解答：（1）解：∵直線l與以BC為直徑的圓O相切于點(diǎn)C．
∴∠BCE=90°，
又∵BC為直徑，
∴∠BFC=∠CFE=90°，
∵∠FEC=∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴

CE

BE

=

EF

CE

，
∵BE=15，CE=9，
即：

9

15

=

EF

9

，
解得：EF=

27

5

；

（2）證明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠FCD，
同理：∠AFB=∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
②∵△CDF∽△BAF，
∴

CF

BF

=

CD

BA

，
又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△BCF，
∴

CF

BF

=

CE

BC

，
∴

CD

BA

=

CE

BC

，
又∵AB=BC，
∴CE=CD；

（3）解：∵CE=CD，
∴BC=

3

CD=

3

CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE=

CE

BC

=

1

3

，
∴∠CBE=30°，
故

CF

為60°，
∴F在直徑BC下方的圓弧上，且

BF

=

2

3

BC

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．