Question

13．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線l是繞著定點(diǎn)A（0，2）旋轉(zhuǎn)的動直線，且與經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）的拋物線y=$\frac{1}{4}{x}^{2}+h$交于不同的兩點(diǎn)P和Q（即直線l在旋轉(zhuǎn)過程中，不與y軸平行）．
（1）求h的值；
（2）通過觀察、分析，直接求出△PQO面積的最小值（不必說明理由）；
（3）過點(diǎn)P、C作直線，與x軸交于點(diǎn)B，請你通過觀察、分析，并猜想：直線l在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形AOBQ是哪些特殊四邊形？并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）將（0，1）代入拋物線的解析式即可求得h的值；
（2）當(dāng)PQ∥x軸時，△PQ0的面積最小，將y=0代入拋物線的解析式可求得Q、P的坐標(biāo)，從而可求得PQ的長，最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）設(shè)P（a，$\frac{1}{4}$a²+1），然后求得直線QA、PC的解析式（含字母a），然后再求得點(diǎn)B、Q的坐標(biāo)，從而可作出判斷．

解答 解：（1）將（0，1）代入y=$\frac{1}{4}{x}^{2}+h$得：h=1．
（2）∵h(yuǎn)=1，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+1．
觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)PQ∥x軸時，△PQ0的面積最�。�
∵將y=2代入拋物線的解析式得：$\frac{1}{4}$x²+1=2，解得x₁=2，x₂=-2，
∴PQ=4．
∴S_△PQO=$\frac{1}{2}×4×2$=4．
（3）設(shè)P（a，$\frac{1}{4}$a²+1）其中a≠0，直線AP的解析式為y=kx+2，直線PC的解析式為y₁=k₁x+1．
∵將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得；ak+2=$\frac{1}{4}$a²+1，ak₁x+1=$\frac{1}{4}$a²+1，解得：k=$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$，k₁=$\frac{a}{4}$，
∴直線AP的解析式為y=（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x+2，PC的解析式為y=$\frac{a}{4}$x+1．
∵令y₁=0得：$\frac{a}{4}$x+1=0，解得；x=-$\frac{4}{a}$，
∴B（-$\frac{4}{a}$，0）．
將y=（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x+2與y=$\frac{1}{4}$x²+1聯(lián)立得：$\frac{1}{4}$x²+1=（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x+2，整理得：$\frac{1}{4}$x²-（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x-1=0，
∵a是方程$\frac{1}{4}$x²-（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x-1=0的一個實根，
∴ax₂=-4．
∴x₂=-$\frac{4}{a}$．
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同．
∴QB∥AO．
當(dāng)a≠±2時，QB≠AO，此時四邊形AOBQ是直角梯形．
當(dāng)a=±2時，QB=AO．
∵QB=AO，QB∥AO，
∴四邊形AOBQ是平行四邊形．
又∵∠AOB=90°，
∴四邊形AOBQ是正方形．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積公式、梯形的判定、正方形的判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得點(diǎn)B與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)（用含a的式子表示）是解題的關(guān)鍵．