3.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+8(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B,與y軸交于點(diǎn)C,tan∠ABC=2.
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)作直線CD,直線CD交x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,交直線CD于點(diǎn)F,現(xiàn)將拋物線向上平移h(h>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,若要使拋物線與線段EF有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求h的取值范圍.
(3)M是拋物線在第一象限上的一個(gè)端點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸,交直線BC于點(diǎn)N,求MN的最大值.

分析 (1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得C點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)正切函數(shù),可得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,根據(jù)配方法,可得頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)待定系數(shù)法,可得CD的解析式,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得E、F的坐標(biāo),根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo),可得h-72≤0,h>12,可得答案;
(3)根據(jù)平行于y的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.

解答 解:(1)∵y=ax2+bx+8與y軸交與C點(diǎn),
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,8),即OC=8.
在Rt△OBC中,tan∠ABC=2,∴$\frac{OC}{OB}$=2,OB=4,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),將A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$,
拋物線的解析式為y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,9);
(2)如圖1:,
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,∵C(0,8),D(1,9),
∴直線CD的解析式為y=x+8,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-8,0).
∵BF⊥x軸,且點(diǎn)F在直線CD上,
當(dāng)x=4時(shí),y=4+8=12,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,12).
將拋物線向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度,得
y=-(x-1)2+h+9.
當(dāng)x=-8時(shí),y=h-72;當(dāng)x=4時(shí),y=h.
∵平移后的拋物線與線段EF有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
$\left\{\begin{array}{l}{h-72≤0}\\{h>12}\end{array}\right.$,
解得12<h≤72,
∴h的取值范圍是12<h≤72;
(3)如圖2:,
設(shè)直線CB的解析式為y=kx+b,
∵C(0,8),B(4,6),
∴直線CB的解析式為y=-2x+8,
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,-m2+2m+8).
∵M(jìn)N∥y軸,點(diǎn)N在直線CB上,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,-2m+8).
∵M(jìn),N在第一象限,
∴MN=-m2+2m+8-(-2m+8)=-m2+4m=-(m-2)2+4,
當(dāng)m=2時(shí),MN的值最大,MN=4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;利用圖象只有一個(gè)交點(diǎn)得出不等式組是解題關(guān)鍵;利用平行于y的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵.

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