Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A落在OC邊上的點(diǎn)E處，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)A，E，B三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MBE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．P點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，Q點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．設(shè)△PBQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo)，再將A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c即可求得拋物線的解析式；
（2）由題意可知：M為直線AE與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)時(shí)，△MBE的周長(zhǎng)最小，先求出直線AE的解析式，進(jìn)而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意先求出△ABO∽△NBQ，再根據(jù)相似的性質(zhì)求出PB和QN的長(zhǎng)，進(jìn)而求得△PBQ的面積為S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，
∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．
又∵OE=OA=3，
∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚（2分）
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B，E三點(diǎn)，
∴

c=3 9a+3b+c=0 16a+4b+c=3.

解之得：

a=1 b=-4 c=3.

（6分）
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．（7分）

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．（9分）
∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴M為直線AE與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)時(shí)，ME+MB的值最小，而B(niǎo)E的長(zhǎng)一定，此時(shí)△MBE的周長(zhǎng)最小．（10分）
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+m，
則有

m=3 3k+m=0.

解之得

k=-1 m=3.

∴y=-x+3．（13分）
當(dāng)x=2時(shí)，y=1，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）（14分）

（3）過(guò)Q點(diǎn)作QN⊥AB于N．
在矩形OABC中，OA⊥AB，
又∵∠ABO=∠NBQ，
∴△ABO∽△NBQ．（16分）
∴

BQ

QN

=

BO

AO

而OB=

AO2+AB2

=5，BQ=AP=t，
∴QN=

3t

5

，PB=4-t．（18分）
∴S=

1

2

PB•QN=

1

2

（4-t）×

3t

5

，
=-

3

10

t2+

6

5

t（0＜t＜4）．（20分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和三角形相似的性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．