Question

8．如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中點，P在射線BD上運動，若△BEP為等腰三角形，則線段BP的長度等于$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)矩形的性質及中點的定義得出∠BAD=90°，AE=DE=1，那么△ABE是等腰直角三角形，BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$．再分三種情況討論：①BP=BE；②PB=PE；③EB=EP．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中點，
∴∠BAD=90°，AE=DE=1，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$．
若△BEP為等腰三角形，則分三種情況：
①當BP=BE時，顯然BP=$\sqrt{2}$；
②當PB=PE時，如圖，連結AP．
∵PB=PE，AB=AE，
∴AP垂直平分BE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠EAP=45°．
作PM⊥AB于M，設PM=x，
∵S_△ABD=S_△ABP+S_△APD
∴$\frac{1}{2}$×1•x+$\frac{1}{2}$×2•x=$\frac{1}{2}$×1×2，
解得x=$\frac{2}{3}$，
∴PM=$\frac{2}{3}$，
∴BP=$\frac{PM}{sin∠ABD}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
③當EB=EP時，如圖，過A作AF⊥BD于F，過E作EG⊥BD于G．
在Rt△ABF中，AF=AB•sin∠ABF=1×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AE=ED，EG∥AF，
∴EG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△BEG中，∵BE=$\sqrt{2}$，EG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∵EB=EP，EG⊥BP，
∴BP=2BG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述，線段BP的長度等于$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案為$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了勾股定理的應用，矩形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數(shù)的定義等知識，綜合性較強，有一定難度．進行分類討論與數(shù)形結合是解題的關鍵．